Lec 2: TDA 应用
聚类
通过 TDA，我们首先将每个点对应一个高斯核函数，然后得到标量场，然后可以算出这个标量场的 PD 图，然后进行聚类。
通过这种方法，我们可以聚类非常复杂的特征。
去除噪声
图像处理经典难题：噪声和小的细节很难分开来。去噪的同时，小的细节往往会被磨光。
我们可以算出台风温度场的 PD 图，然后进行聚类。
从而，接近对角线的 PD 点对应的原始点，就是噪声，我们要进一步处理这一部分区域；远离对角线的点，就是细节，我们不处理这一部分区域。
几何重建：曲面重建
通过点云重建三角面的时候，如果不加上拓扑控制（比如希望图形中有几个洞），那么很容易出现我们不希望得到的结果——洞被堵上了。
我们计算出建模结果对应的 PD 图。
假如我们希望有 2 个洞，那么我们就试图最优化函数 $$ -((d_2 - b_2)^2 - (d_3 - b_3)^2) $$ 其中，\((d_n, b_n)\) 指的是持续时间第 \(n\) 长的点。
从而，模型就会尽量只有两个洞，保证前两个点的持续时间长（i.e. 是一个真的洞），后面的点持续时间很短（i.e. 可以认为不是洞）。
难点：如何进行梯度下降优化？这篇论文1里有提到。
工作介绍
B-样条向量化
使用 B-样条的控制点，而不是光栅化的像素，进行向量化。直觉上，信息的损失更少。
Persistent Image 的深度学习拟合
为了加速 PI 的计算，我们训练卷积深度网络来进行拟合。
拓扑编辑
给定一个形状特征（比如一个咖啡杯）+一个形状特征（比如一个两个环的水杯），希望按照前者的形状和后者的拓扑，生成图形（i.e. 一个两个环的咖啡杯）。
我们可以训练形状特征的编码+解码器。但是，在形状特征编码之后，我们同时增添
点云插值
给定左边和右边的人，生成中间的点云。
曲线重构
将持续时间最长的几个 PD 点对应的点云中的关键点，当作控制点，制作 B-样条，再通过各种方法，将该样条进行拟合。