\[ \newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|} \newcommand{R}{\mathbb R} \newcommand{N}{\mathbb N} \]

• Norm
  • Vector Norm
    • Converge w.r.t Norm
  • Matrix Norm
    • Some Popular Norms
• Eigenvalues and Eigenvectors
  • Spectral Radius
    • Convergence of Matrix w.r.t its norm
• Iterative Techniques
  • Jacobi Method
    • 举例
  • Gauss-Seidal Method
  • Comparison
  • Convergence: Proof
    • Other convergence conditions
  • Error Bound Estimation
• Conditional Number
  • 推导
  • 求 \(K(A)\)

Norm

Vector Norm

范数很简单，对于向量范数，只需要满足：

1. \(\| x \| \geq 0\) 且 \(\| x \| = 0 \iff x = 0\) (positive definite)
2. \(\|\alpha x \| = \abs{\alpha} \| x \|\) (homogeneous)
3. \(\| x + y \| \leq \| x \| + \| y \|\) (triangle inequality)

即可。

Converge w.r.t Norm

如图，

1. 我们可以容易证明，无穷范数收敛等价于逐 element 收敛。
2. 我们又通过证明所有 \(\R^n\) 的范数等价，因此任意范数收敛等价于逐 element 收敛。

---

证明 (2)：

我们不妨证明所有范数与 \(l^1\) 范数等价。

对于 \(C_2\) 而言，证明是显然的。我们只需要找到自然基下的所有 \(C_{2}^{(i)}\) 即可，然后取最大值。

• \(\| x \|_A \leq \sum_{i=1}^N \| x_i \|_A = \sum_{i=1}^N \| x_i \|_A \leq \sum_{i=1}^N \abs{x_i}_A \max(C_2^{(i)}) = \max(C_2^{(i)}) \| x \|_1\)。

对于 \(C_1\) 而言，我们可以使用 Bolzano-Weierstrass 方法证明：

假设不存在这样的 \(C_1\)，那么， $$ \forall n \in \N, \exists x(n) \in \R^n, s.t. |x(n)|_1 = 1: \frac 1 n = \frac 1 n |x(n)|_1 > |x(n)|_A $$ 从而：\(\lim_{n \to \infty} \|x(n)\|_A = 0\)。由于 \(\|x(n)\|_1 = 1 \implies x(n) \text{ is bounded}\)，由 Bolzano-Weierstrass 定理可知：存在收敛子列，这个收敛子列必然收敛至 \(x^*\)。

再由范数的连续性（易证）可知：\(\|x^*\|_A = \| \lim_{i \to \infty}x(n_i)\|_A = \lim_{i \to \infty} \|x(n_i)\|_A = 0\)。

因此，我们的反证法分三大步：

1. 向量的值收敛于 0
2. 向量（的一个子列）收敛
3. 由范数函数的连续性：向量（的一个子列）的收敛点的值等于 0，与 positive definite 矛盾

Matrix Norm

对于矩阵范数，需要满足：

1. \(\| A \| \geq 0\) 且 \(\| A \| = 0 \iff x = 0\) (positive definite)
2. \(\|\alpha A \| = \abs{\alpha} \| A \|\) (homogeneous)
3. \(\| A + B \| \leq \| A \| + \| B \|\) (triangle inequality)
4. \(\| AB \| \leq \| A \| \| B \|\) (consistency)

注意第四点是矩阵范数独有的。

Some Popular Norms

第一个 Frobenius Norm 形式上简单，但是数学上解释复杂。

第二个 Natural Norm 是通过向量范数诱导的，形式上略复杂，但是数学上很简单。

对于常见的向量范数，对应的矩阵范数如下：

1. 无穷范数：逐列相加，取最大的那一行
2. 1-范数：逐行相加，取最大的那一列
3. 2-范数：对于一个高维球面，我们对其进行线性变换，然后取其最长轴。或者就是取矩阵最大的奇异值。

Eigenvalues and Eigenvectors

Spectral Radius

由于代数闭域上的方阵一定有至少一个 eigenvalue，因为： $$ f(\lambda) = \det(A - \lambda I) $$ 是一个多项式。而多项式在代数闭域上必然有根，因此必然有只要一个 eigenvlaue。因此，\(\rho(A)\) 是良定义的。

重要的定理是：对于任意的 natural norm，矩阵的谱半径一定不大于 natural norm。

Convergence of Matrix w.r.t its norm

对于实对称矩阵，我们可以直接 Orthonormal Decomposition，结论更加简单。如果矩阵的特征值的绝对值均小于 1，那么就收敛。

更一般地，如下图，任意矩阵都可以分解成若尔当标准型。其中一个若尔当块如图所示。

同时，不难证明，若尔当型收敛 iff \(\abs{\lambda} < 1\)。因此只要所有特征值的绝对值小于 1，矩阵就收敛

Iterative Techniques

Jacobi Method

我们在这里，用的也是类似于不动点迭代的方法。

举例

一个形如 ${\displaystyle Ax=b}$ 的线性方程，估计初始${\displaystyle x^{(0)}}$：

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\5&7\\\end{bmatrix}},\ b={\begin{bmatrix}11\\13\\\end{bmatrix}},\quad x^{(0)}={\begin{bmatrix}1\\1\\\end{bmatrix}}.}$

我们用上文描述的方程${\displaystyle x^{(k+1)}=D^{-1}(b-Rx^{(k)})}$来估计${\displaystyle x}$。首先，将等式写为${\displaystyle D^{-1}(b-Rx^{(k)})=Tx^{(k)}+C}$以方便计算，其中${\displaystyle T=-D^{-1}R}$和${\displaystyle C=D^{-1}b}$。注意 ${\displaystyle R=L+U}$中的 ${\displaystyle L}$和${\displaystyle U}$是${\displaystyle A}$的严格 递增和递减部分。变成如下数值：

${\displaystyle D^{-1}={\begin{bmatrix}1/2&0\\0&1/7\\\end{bmatrix}},\ L={\begin{bmatrix}0&0\\5&0\\\end{bmatrix}},\quad U={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}.}$

令 ${\displaystyle T=-D^{-1}(L+U)}$ as

${\displaystyle T={\begin{bmatrix}1/2&0\\0&1/7\\\end{bmatrix}}\left\{{\begin{bmatrix}0&0\\-5&0\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&-1\\0&0\\\end{bmatrix}}\right\}={\begin{bmatrix}0&-0.5\\-0.714&0\\\end{bmatrix}}.}$

解出C为：

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}1/2&0\\0&1/7\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}11\\13\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5.5\\1.857\\\end{bmatrix}}.}$

用计算出来的T和C，我们估计${\displaystyle x}$为${\displaystyle x^{(1)}=Tx^{(0)}+C}$

${\displaystyle x^{(1)}={\begin{bmatrix}0&-0.5\\-0.714&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\1\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}5.5\\1.857\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5.0\\1.143\\\end{bmatrix}}.}$

继续迭代得：

${\displaystyle x^{(2)}={\begin{bmatrix}0&-0.5\\-0.714&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5.0\\1.143\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}5.5\\1.857\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4.929\\-1.713\\\end{bmatrix}}.}$

这个过程一直重复直到收敛（直到${\displaystyle \|Ax^{(n)}-b\|}$足够小）。这个例子在25次迭代之后的解是

${\displaystyle x={\begin{bmatrix}7.111\\-3.222\end{bmatrix}}.}$

Gauss-Seidal Method

Gauss-Seidal 方法，在形式上，上和 Jacobi 方法的区别不大。

• 但是 Gauss-Seidal 比较难并行化，因为每计算一个 \(x_j^{(k)}\) 都要用到之前的 \(x_{j-1}^{(k)}, x_{j-2}^{(k)}, \dots\)。

Comparison

如图，左侧是 Gauss - Seidel 方法，右侧是 Jacobi 方法。两者最大的不同，就是 Gauss - Seidel 方法，总是使用最新的数据。

Convergence: Proof

标准的收敛情况，是 \(T_j = D^{-1}(L+U)\) 的谱半径小于 1。

---

证明：

我们令第 \(k\) 轮的误差为 \(\vec e^{(k)}\)

这个误差，本质上，就是向量值多元函数的不动点迭代法。

因此，如果我们希望误差收敛，就必须要求 \(T\) 本身就是收敛的。而 \(T\) 是收敛的条件，就是谱半径小于 1（上文已经证明）。

Other convergence conditions

保证收敛的条件还可以是矩阵 \(A\) 为严格或不可约地对角占优矩阵。不过，有时即使不满足此条件，雅可比法仍可收敛。

其中，如果是严格对角线占优，证明如下：

---

我们可以得到 \(\lambda I - T = \lambda D^{-1} D - D^{-1} (L + U) = D^{-1} (\lambda D - (L + U))\)。

不难发现，如果\(\lambda \geq 1\)，那么 \(\lambda D - (L + U)\) 仍然是严格对角线占优，也就是可逆，从而 \(\lambda I - T\) 可逆，从而 \(\lambda\) 不可能是 \(T\) 的 eigenvalue。

因此，\(\rho(T) < 1\)。

Error Bound Estimation

矩阵的 normal norm 相比谱半径更适合用来估计误差。

由于谱半径小于等于任意的自然范数，因此：

Conditional Number

\[ \newcommand{abs}[1]{|#1|} \]

推导

求 \(K(A)\)

由于 \(K(A) = \|A\| \|A^{-1}\|\)，因此，一般而言，我们需要求出 \(A^{-1}\) 才行。但是我们并不希望使用 \(\mathcal O(n^{\log_2 7})\) 的复杂度来求逆矩阵。

Note:

1. If \(A\) is symmetric, then \(K(A)_2 = \frac {\max \abs{\lambda}} {\min \abs{\lambda}}\)
   • 这是因为，\(A\) 可以标正对角化 ⇒ \(A\) 的特征值的模和奇异值相等
   • 另外，实际上，只需要 \(A\) 是 normal operator, i.e. \(A A^t = A^t A\)，就可以标正对角化，从而就可以套用在这里
2. \(K(A)_p \geq 1\) for all natural norm \(\|\cdot\|_p\)
   • 因为，\(\|A\| \geq \|Ax\| / \|x\|\), \(\|A^{-1}\| \geq \|A^{-1}Ax\| / \|Ax\| := \|x\| / \|Ax\|\)
3. \(K(\alpha A) = K(A)\)
   • 易证
   • 也就是说，\(A\) 的矩阵范数和其放大倍率无关
4. \(K(A)_2 = 1\) if \(A\) is orthogonal, i.e. \(A^{-1} = A^t\)
   • orthogonality ⇒ \(\forall x: \|Ax\| = \|x\|\) ⇒ \(\|A\|=1\), and so is \(\|A^{-1}\|\)
5. \(K(RA)_2 = K(AR)_2 = K(A)_2\), if \(R\) is orthogonal

总结：

• 对称矩阵（乃至正规矩阵）直接算
• 任意矩阵的条件数都不小于 1
  • 条件数就是相对误差的放大倍率。但是相对误差是无法减小的，因此条件数至少是 1。
• 条件数与常数放缩无关
• 正交矩阵的条件数就是 1