三

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在这一部分，我们开始应用我们从第 1 和第 2 部分学到的数学来计算单纯复形有趣的拓扑特征。

回到单纯同调

我们已经讨论了足够多的群论内容，能够完成我们在单纯复形上的同源群的计算。你们应该回忆一下，我们已经给出了第 $n$ 个同源群和第 $n$ 个连通数的定义。

连通数是我们的终极目标。他们很好地总结了单纯复形的拓扑性质。如果我们有一个形成单一圆形物体的单纯复形，那么 $b_0$ （第 $0$ 连通数）代表连接组件的数量（它是 $1$ ），而 $b_1$ 是 $1$ 维孔的数量（即圈），它也等于 $1$ ，但 1">$b_n, n>1$ 是高维孔，而它等于 $0$ 。

我们来看看是否可以计算一个简单三角形单纯复形的连通数。

$\mathcal T = \text{ {{a}, {b}, {c}, [a, b], [b, c], [c, a]} }$ （在下面有描述）

目测 $\mathcal T$ 的连通数 $b_0=1$ （ $1$ 个连接的组件）， $b_1=1$ （ $1$ 个孔），我们只计算那些连通数。

让我们慢慢地完成整个步骤。首先我们要注意 $n$ 维链。

$0$ 维链是 $0$ 维单形的集合： $\{\{a\},\{b\},\{c\}\}$ 。 $1$ 维链是 $1$ 维单形的集合： $[a, b], [b, c], [c, a]$ 。该单纯复形没有更高维的 $n$ 维链了。

现在我们可以用 $n$ 维链定义链群。我们准备用 $\mathbb Z_2$ 的系数， $\mathbb Z_2$ 是一个只有两个元素 $\{0,1\}$ 的域，其中 $1+1=0$ 。

$0$ 维链群被定义成： $\\ C_0 = \{\{x*(a,0,0)\}, \{y*(0,b,0)\}, \{z*(0,0,c)\} \mid x,y,z \in \mathbb Z_2\}$

这个群只定义了加法运算，但我们在 $\mathbb Z_2$ 中用乘法构建了这个群。因此这个群与 $\mathbb Z_{2}^{3} = Z_{2} \oplus Z_{2} \oplus Z_{2}$ 同构。

但我们也想把链群表示成向量空间。这意味着它成为一种结构，这个结构中的元素可以通过域中的元素放大或缩小 (即乘法运算)，并加在一起，所有的结果仍然在结构中。如果我们只关注加法运算，那么我们看到的是群结构，但如果我们关注加法和乘法运算，那么我们可以把它看作向量空间。

0 维链向量空间通过以下方法生成：

\[\\ \mathscr C_0 = \{\{x*(a,0,0)\}, \{y*(0,b,0)\}, \{z*(0,0,c)\} \mid x,y,z \in \mathbb Z_2\} \\\]

（是的，它和上面的群是相同的集合）

向量空间是集合的一组元素，我们可以乘上 $0$ 或 $1$ ，然后把它们加起来。例如： $1*(a,0,0) + 1*(0,0,c) = (a,0,c)$ ，这个向量空间非常小（ $2^3=8$ 个元素），我们可以列出所有的元素。他们是：

$\\ \mathscr{C_0} = \begin{Bmatrix} (a,0,0), (0,b,0), (0,0,c), (a,b,0) \\ (a,b,c), (0,b,c), (a,0,c), (0,0,0) \end{Bmatrix}$

你可以看到，我们可以在这个向量空间中添加任何两个元素，结果将是向量空间中的另一个元素。随便举个例子： $(a,0,c) + (a,b,c) = (a+a,0+b,c+c) = (0,b,0)$ 。加法是分量方式的。我们也可以用向量乘以一个域 $\mathbb Z_2$ 中的元素，但因为我们的域只有两个元素，结果比较无聊，只有 $1*(a,b,0) = (a,b,0)$ 和 $0*(a,b,0) = (0,0,0)$ ，但乘法运算仍然会在我们的向量空间中产生一个元素。

我们可以把这个向量空间表示为一个多项式，那么我们的 0 维链向量空间能等价地定义为：

$\\ \mathscr{C_0} = \{xa + yb + zc \mid z,y,z \in \mathbb Z_2\}$

我们可以很容易地把一个多项式 $a+b+c$ 翻译成它的有序集符号 $(a,b,c)$ ，或者 $a+b$ 是 $(a,b,0)$ 。作为多项式集合的向量空间是这样的： $\\ \mathscr{C_0} = \begin{Bmatrix} \text{ {0}, {a}, {b}, {c}, {a+b}, {b+c}, {a+c}, {a+b+c}} \end{Bmatrix}$

一般来说，使用多项式形式更方便，因为我们可以做一些熟悉的代数方程, 像这样： $a+b=0 \\a = -b \\a = b$

（记得 $\mathbb Z_2$ 中的一个元素的逆是它自己，即 $-b=b$ ，其中 “ $-$ ” 表示负）。

注意：知道我们讨论的是群体还是向量空间是非常重要的。我将用普通的 $C$ 代表链群而花体 $\mathscr C$ 代表链（向量）空间。它们具有相同的底层集，只是定义了不同的操作。如果我们讨论群形式，我们只能参考它的加法运算，而如果我们讨论向量空间形式，我们可以讨论它的乘法运算和加法运算。

我们对 1 维链进行相同的操作： $[a, b], [b, c], [c, a]$ 。我们可以用 $1$ 维链集定义另一个链群， $C_1$ 。它将与 $C_0$ 和 $\mathbb Z_{2}^{3}$ 同构。 $C_1 = \{\ (\ x([a, b]), y([b, c]), z([c, a])\ ) \mid x,y,z \in \mathbb Z_2\ \}$ 我们可以用和定义 $C_0$ 同样的方法来使用这个链定义向量空间 $\mathscr C_1$ 。我将使用多项式形式。记住，链群和向量空间有相同的集合，只是向量空间有两个二进制运算而不是一个。这是向量空间中元素的完整列表：

\[\\ \mathscr{C_1} = \begin{Bmatrix} \text{ {[a, b]}, {[b, c]}, {[c, a]}, {[a, b] + [b, c]}, {[b, c] + [c, a]}, {[a, b] + [c, a]}, {[a, b] + [b, c] + [c, a]}, {0} } \end{Bmatrix} \\\]

为了澄清边界图，这里有一个图。这说明了边界操作符如何映射 $C_0$ 的每个元素到 $C_1$ 的元素。

现在我们可以开始计算第一个连通数， $b_0$ 。

回想一下连通数的定义：

第 $n$ 个连通数 $b_n$ 定义为 $H_n$ 的维度， $b_n = dim(H_n)$ 。

再回忆一下同调群的定义：

第 $n$ 个同调群 $H_n$ 定义为 $H_n=Ker\partial_n/Im\partial_{n+1}$ 。

最后，回顾一下内核的定义：

$\partial(C_n)$ 的核（记作 $Ker(\partial(C_n))$ ）是 $n$ 链 $Z_n \subseteq C_n$ 的群，其中 $\partial(Z_n) = 0$ 。

首先，我们需要边界 $C_0$ 的核 $Ker\partial(C_0)$ 。记得边界映射 $\partial$ 为我们提供了 $C_n \rightarrow C_{n-1}$ 的映射。

在所有情况下，边界的 $0$ 维链是 $0$ ，因此 $Ker\partial(C_0)$ 是整个 $0$ 维链。 $Ker\partial(C_0) = \{a, b, c\}$ 这形成了另一个 $0$ 圈的群，记为 $Z_0$ （或者 $Z_n$ ）， $Z_0$ 是 $C_0$ 的子群，即 $Z_n \leq C_n$ 。加上 $Z_2$ 的定义， $Z_0$ 也与 $Z_2$ 同构，因此它和 $C_0$ 一样。

另一件事是我们需要找到同调群 $H_0$ 的 $Im\partial_{1}$ 。这形成了 $Z_0$ 的子群，记作 $B_0$ ，它是 $(n+1)$ 维链的边界的群。因此 $B_n \leq Z_n \leq C_n$ 。 $\partial{C_1} = \partial({[a, b], [b, c], [c, a]} = (a + b) + (b + c) + (c + a) \\ \partial{C_1} = (a + b) + (b + c) + (c + a) = (a + a) + (b + b) + (c + c) = (0) + (0) + (0) = 0 \\ \partial{C_1} = 0$

所以 $Im\partial_{1} = 0$ 。

因此我们计算子群 $H_0 = Z_0\ /\ B_0$ ，这种情况下： $Z_0 = \text { { {a, b, c}, {0} } } \\ B_0 = \{0\}$

所以我们用 $Z_0$ 中两个元素中的 $\{0\}$ 的左陪集来得到商群： $\\ Z_0\ /\ B_0 = \text { { {a, b, c}, {0} } } = Z_0$

总之，如果 $B_n = \{0\}$ ，那么 $Z_n\ /\ B_n = Z_n$ ，所以 $H_0 = Z_0$ 。

连通数 $b_0$ 是 $H_0 = Z_0$ 的维度。什么是 $H_0$ 的维度？它有两个元素，但是维度被定义为一个群中最小的生成元集合，因为这个群与 $Z_2$ 同构，所以它只有 $1$ 个生成元。因为整个群可以通过反复加 $1$ 来形成，即 $1+1=0, 1+1+1 = 1$ ，然后我们就能得到整个 $Z_2$ ，所以 $Z_2$ 的生成元是 $1$ 。

所以 $b_0 = dim(H_0) = 1$ ，这就是我们所期望的，这个单纯复形有 $1$ 个相连的分量。

现在开始计算 $1$ 维连通 $b_1$ 。这次它可能会有些不同，因为计算 $\text{Ker}\partial(C_1)$ 将变得更复杂。我们需要做一些代数运算。

所以，第一，我们需要 $Z_1$ ， $1$ 维圈的群。这是边界为 $0$ 的 $1$ 维单形的集合。记得 $1$ 维链是 $\{ [a,b], [b,c], [c,a]\}$ ，而当它应用在 $Z_1$ 上，它形成了 $1$ 维链群 $C_1$ 。我们将构建这样一个等式：

其中，这是向量空间中任何元素的一般形式然后取边界提出因数

\[\\ \mathscr C_1 = \lambda_0([a,b]) + \lambda_1([b,c]) \lambda_2([c,a]) \text{ ... 其中 $\lambda_n \in \mathbb Z_2$，这是向量空间$\mathscr C_1$中任何元素的一般形式 } \\ \lambda_0([a,b]) + \lambda_1([b,c]) + \lambda_2([c,a]) = 0 \text{ ... 然后取边界} \\ \partial(\lambda_0([a,b]) + \lambda_1([b,c]) + \lambda_2([c,a])) = 0 \\ \lambda_0(a+b) + \lambda_1(b+c) + \lambda_2(c+a) = 0 \\ \lambda_0{a} + \lambda_0{b} + \lambda_1{b} + \lambda_1{c} + \lambda_2{c} + \lambda_2{a} = 0 \\ a(\lambda_0 + \lambda_2) + b(\lambda_0 + \lambda_1) + c(\lambda_1 + \lambda_2) = 0 \text{ ...提出因数 a,b,c} \\\]

满足这个方程后，需要把每一项的所有系数 $\lambda_n$ 加起来等于 $0$ ，来让 $a,b,c$ 变成 $0$ 。也就是说，如果整个等式等于 $0$ ，那么每一项都等于 $0$ ，如 $a(\lambda_0 + \lambda_2) = 0$ ，因此 $\lambda_0 + \lambda_2 = 0$ 。现在我们有了一个线性方程组：

得出$\lambda_0 + \lambda_2 = 0 \\ \lambda_0 + \lambda_1 = 0 \\ \lambda_1 + \lambda_2 = 0 \\ \text{...得出...} \\ \lambda_0 = \lambda_2 \\ \lambda_0 = \lambda_1 \\ \lambda_1 = \lambda_1 \\ \lambda_0 = \lambda_1 = \lambda_2$

对于上面的方程，所有的系数都是相等的。我们用一个符号替换所有的 $\lambda$ ，即 $\lambda_0, \lambda_1, \lambda_2 = \phi$ 。

现在，让我们回到 1 维链向量空间的一般表达式 $\mathscr C_1 = \lambda_0([a,b]) + \lambda_1([b,c]) + \lambda_2([c,a])$ 。当我们把它的边界设为 $0$ 时，我们会得到 $\lambda_0 = \lambda_1 = \lambda_2$ ，而我建议我们用符号 $\phi$ 代替。

因此，循环群：

记住来自，所以它是或。$\\ Z_1 \leq \mathscr C_1 = \phi([a,b]) + \phi([b,c]) + \phi([c,a]) \\ Z_1 = \phi([a,b] + [b,c] + [c,a]), \text{ ...记住 \(\phi$ 来自 $\mathbb Z_2$，所以它是0或1。}\)

因此循环群只包含两个元素，它和 $Z_2$ 同构。

我会引入新的符号。如果数学结构 $G_1,G_2$ 同构，那么我们记作 $G_1 \cong G_2$ 。

如果 $\phi = 0$ ，那么 $\phi([a,b] + [b,c] + [c,a]) = 0([a,b] + [b,c] + [c,a]) = 0$ ，但如果 $\phi = 1$ ，那么 $\phi([a,b] + [b,c] + [c,a]) = 1([a,b] + [b,c] + [c,a]) = [a,b] + [b,c] + [c,a]$ ，所以整个群是： $\\ Z_1 = \begin{Bmatrix} [a,b] + [b,c] + [c,a] \\ 0 \end{Bmatrix}$

边界群 $B_1 = Im\partial(C_2)$ ，但因为 $C_2$ 是空集，所以 $B_1 = \{0\}$ 。

我们可以再次计算出同源群： $\\H_1 = Z_1 / B_1 = \begin{Bmatrix} [a,b] + [b,c] + [c,a] \\ 0 \end{Bmatrix}$

而连通数 $b_1 = dim(H_1) = 1$ ，因为在群 $H_1$ 中，我们只有一个生成元。

所以这就是非常简单的单纯复形。我们将转到一个更大的复形。这次我将不会详细介绍，并将使用许多我已经定义或描述过的简化符号和约定俗成。

让我们来完成和之前差不多，但更复杂的单纯复形： $\\ S = \text{{[a], [b], [c], [d], [a, b], [b, c], [c, a], [c, d], [d, b], [a, b, c]}}$

（下面是描述）

注意现在我们有一个 $2$ 维单形 $[a,b,c]$ ，被描绘成实心三角形。

这次我们用整个整数域 $\mathbb Z$ 作为我们的系数，所以由此产生的向量空间将是无限的，而不是我们可以列出的有限空间。既然我们用了 $\mathbb Z$ ，我们就必须定义 “负” 单形是什么意思，即 $-[c,a]$ 的意义？我们之前讨论过了，基本上，我们定义了两种方法，一个单纯形可以被定向，而对原定义的相反方向则被赋予一个单纯形的 “负” 值。

所以 $[a,c] = -[c,a]$ 。但 $[a,b,c]$ 呢？有两种方法来排列 $3$ 个元素列表，但它只有两个方向。

如果你见过以前的定向单形:

这只有两种方法可以 “围绕” 循环，顺时针或者逆时针。

$[a,b,c]$ 是顺时针。

$[c,a,b]$ 也是顺时针。

$[a,c,b]$ 是逆时针，所以 $[a,b,c] = [c,a,b] = -[a,c,b] = -[b,c,a]$ 。

让我们从列出我们的链组开始。

\[\\C_0 = \langle{a,b,c,d}\rangle \cong \mathbb Z^4 \\ C_1 = \langle{[a, b], [b, c], [c, a], [c, d], [d, b]}\rangle \cong \mathbb Z^5 \\ C_2 = \langle{[a, b, c]}\rangle \cong \mathbb Z \\\]

回想一下方括号的含义，这显然比我们在最后一个例子中构建群的方式要简单得多。注意每个群都与向量空间 $\mathbb Z^n$ 同构，其中 $n$ 是 $n$ 维链中单形的数量。

我们可以这样描述我们的链结构： $\\ C_2 \stackrel{\partial_1}\rightarrow C_1 \stackrel{\partial_0}\rightarrow C_0$

我们知道，我们可以很轻易地将这个单纯复形可视化，因为它有一个连接组件和一个 1 维循环（一个 1 维孔）。因此，连通数，$b_0 = 1， b_1 = 1$ ，但我们需要自己计算。

让我们从高维链群开始，即 $2$ 维链群。

记住， $Z_n = \text{Ker}\partial(C_n)$ $n$ 维循环的群，它是 $C_n$ 的子群。而 $B_n = \text{Im}\partial(C_{n+1})$ 是 $n$ 维边界的群，它是 $n$ 维循环的子集。因此 $B_n \leq Z_n \leq C_n$ 。还记得同调群 $H_n = Z_n\ /\ B_n$ 而第 $n$ 个连通数是 $n$ 维同调群的维度。

为了得到 $Z_n$ ，我们需要为 $C_n$ 中的一般元素设置表达式。让它等于以得到核只有一个解，所以所以中没有一个元素等于，因此核中只有

\[\\ \begin{aligned} C_2 &= \lambda_0{[a,b,c]}, \lambda_0 \in \mathbb{Z} \\ Z_2 &= \text{Ker}\partial{(C_2)} \\ \partial{(C_2)} &= \lambda_0{([b,c])} - \lambda_0{([a,c])} + \lambda_0{([a,b])} \text{ ...让它等于0以得到核} \\ \lambda_0{([b,c])} - \lambda_0{([a,c])} + \lambda_0{([a,b])} &= 0 \\ \lambda_0{([b,c] - [a,c] + [a,b])} &= 0 \\ \lambda_0 &= 0 \text{ ... $\lambda_0 = 0$只有一个解，所以 $0=0$. } \\ \lambda_0{[a,b,c]} &= 0, \lambda_0 = 0 \text{ ... 所以$C_2$中没有一个元素等于0，因此核中只有{0}} \\ ... \\ \text{Ker}\partial{(C_2)} &= \{0\} \\ \end{aligned}\\\]

因为没有 $3$ 维单形或更高， $B_2 = {0}$ 。因此连通数 $b_2 = dim(\{0\} / \{0\}) = 0$ 。这就是我们所期望的，单纯复形里没有 $2$ 维洞。

让我们用同样的方法处理 $C_1$ 。

让它等于以得到核现在我们可以建立一个线性方程组解方程，把答案放回表达式中指出

\[\\ \begin{aligned} C_1 &= \lambda_0[a, b] + \lambda_1[b, c] + \lambda_2[c, a] + \lambda_3[c, d] + \lambda_4[d, b], \lambda_n \in \mathbb{Z} \\ Z_1 &= \text{Ker}\partial{(C_1)} \\ \partial{(C_1)} &= \lambda_0{(a - b)} + \lambda_1{(b - c)} + \lambda_2{(c - a)} + \lambda_3{(c - d)} + \lambda_4{(d - b)} \\ \text{ ...让它等于0以得到核} \\ \lambda_0{(a - b)} + \lambda_1{(b - c)} + \lambda_2{(c - a)} + \lambda_3{(c - d)} + \lambda_4{(d - b)} &= 0 \\ \lambda_0a - \lambda_0b + \lambda_1b - \lambda_1c + \lambda_2c - \lambda_2a + \lambda_3c - \lambda_3d + \lambda_4d - \lambda_4b &= 0 \text { ...指出 a,b,c,d}\\ a(\lambda_0 - \lambda_2) + b(\lambda_1 - \lambda_0 - \lambda_4) + c(\lambda_2 - \lambda_1 + \lambda_3) + d(\lambda_4 - \lambda_3) &= 0 \\ \text{现在我们可以建立一个线性方程组...} \\ \lambda_0 - \lambda_2 &= 0 \\ \lambda_1 - \lambda_0 - \lambda_4 &= 0 \\ \lambda_2 - \lambda_1 + \lambda_3 &= 0 \\ \lambda_4 - \lambda_3 &= 0 \\ \text{解方程，把答案放回$C_1$表达式中...} \\ \lambda_0([a,b] + [b,c] + [c,a]) + \lambda_3([b,c] + \cancel{[a,c]} + [c,d] + \cancel{[c,a]} + [d,b]) &= \text{Ker}\partial{(C_1)} \\ \text{Ker}\partial{(C_1)} &= \lambda_0([a,b] + [b,c] + [c,a]) + \lambda_3([b,c] + [c,d] + [d,b]) \\ Z_1 = \text{Ker}\partial{(C_1)} &\cong \mathbb Z^2 \end{aligned}\\\]

现在开始求边界 $B_1 = Im\partial(C_2)$ 。

记住$\\ \begin{aligned} \partial(C_2) &= \lambda_0{([b,c])} - \lambda_0{([a,c])} + \lambda_0{([a,b])} \text {... 记住 \(-[a,c] = [c,a]$ ...} \\ \partial(C_2) &= \lambda_0{([b,c] + [c,a] + [a,b])} \\ B_1 = Im\partial(C_2) &= \{\lambda_0{([b,c] + [c,a] + [a,b])}\}, \lambda_0 \in \mathbb Z \\ B_1 &\cong Z \\ H_1 = Z_1\ /\ B_1 &= \{\lambda_0([a,b] + [b,c] + [c,a]) + \lambda_3([b,c] + [c,d] + [d,b])\}\ /\ \{\lambda_0{([b,c] + [c,a] + [a,b])}\} \\ H_1 &= \{\lambda_3([b,c] + [c,d] + [d,b])\} \cong \mathbb Z \end{aligned}\)

另一种更容易计算出商群 $H_1 = Z_1\ /\ B_1$ 的方法是注意 $Z_n, B_n$ 和 $\mathbb Z^n$ 中的什么同构。在这种情况下：

$\\Z_1 \cong \mathbb Z^2 \\ B_1 \cong \mathbb Z^1 \\ H_1 = \mathbb Z^2\ /\ \mathbb Z = \mathbb Z$

所以因为 $H_1 \cong \mathbb Z$ ， $H_1$ 的连通数是 $1$ ，因为 $\mathbb Z$ 的维度是 $1$ （它只有一个生成元）。

我想你们现在已经明白了，我不打算讲所有计算连通数 $b_0$ 的细节了，它应该是 $1$ ，因为只有一个连接的分量。

预告

我们已经掌握了如何手工计算简单的单纯复形的同调群和连通数。但是我们需要开发一些新的工具，这样我们就可以让计算机算法来处理一些真实的，通常更大的单纯复形的计算。下一节我们将会看到线性代数是如何为我们提供一种有效的方法的。

参考文献（网站）

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