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Cubic Spline

定义：

设 \(a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b\) 是 \([a,b]\) 上 \(n+1\) 个点。

  1. 在每一个小区间内，样条是一个三次函数
  2. 在整个 \([a,b]\) 上，函数的一、二阶导连续
  3. 函数经过每一个点

定义上和插值的不同：

  • 样条函数是分段函数
    • 只不过保证了连接处二阶导连续而已
  • 样条函数只和 \(f(x_i)\) 有关，和 \(f\) 的高阶导数无关
    • 换句话说：样条函数在 \(x_i\) 的导数、二阶导，不等于 \(f'(x_i), f''(x_i)\)

Algorithm

假设在 \([x_i, x_{i+1}]\) 区间的样条函数是 \(S_i(x) = a_i + b_i(x-x_i) + c_i(x-x_i)^2 + d_i(x-x_i)^3\)，那么：

  1. \(S_i(x_i) = f_i(x_i), S_i(x_{i+1}) = f_{i+1}(x_{i+1})\)
  2. \(S_i'(x_i) = S_{i-1}'(x_i)\)
  3. \(S_i''(x_i) = S_{i-1}''(x_i)\)

从而，我们可以通过绿线部分的公式，推出我们需要的矩阵： $$ \begin{bmatrix} \text{TODO} \newline \Delta x_0 & 2(\Delta x_0 + \Delta x_1) & \Delta x_1 & 0 & \cdots & 0 \newline 0 & \Delta x_1 & 2(\Delta x_1 + \Delta x_2) & \Delta x_2 & \cdots & 0 \newline \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \newline 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & \Delta x_{n-1} \newline \text{TODO} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} m_0 \newline m_1 \newline m_2 \newline \vdots \newline m_{n-1} \newline m_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \text{TODO} \newline \frac{y_2 - y_1}{\Delta_1} - \frac{y_1 - y_0} {\Delta_0} \newline \frac{y_3 - y_2}{\Delta_2} - \frac{y_2 - y_1} {\Delta_1} \newline \vdots \newline \frac{y_{n} - y_{n-1}}{\Delta_{n-1}} - \frac{y_{n-1} - y_{n-2}} {\Delta_{n-2}} \newline \text{TODO} \end{bmatrix} $$ 可以发现：

  1. 假如矩阵是三对角矩阵，那么就可以在 \(\mathcal O(n)\) 之内解得方程。
  2. TODO 就是超参数

边界条件

注： 我们可以把 \(m_i\) 视作分段函数在 \(x_i\) 处的二阶导。由于 \(S_i'(x_i) = S_{i-1}'(x_i)\)，因此 \(m_i\) 是良定义的。

自然边界

自然边界，就是：\(m_0 = m_n = 0\)，也就是边缘的二阶导为 0。

从而，矩阵为： $$ \begin{bmatrix} 1&0&0&0&\cdots &0 \newline \Delta x_0 & 2(\Delta x_0 + \Delta x_1) & \Delta x_1 & 0 & \cdots & 0 \newline 0 & \Delta x_1 & 2(\Delta x_1 + \Delta x_2) & \Delta x_2 & \cdots & 0 \newline \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \newline 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & \Delta x_{n-1} \newline 0&0&0&0&\cdots &1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} m_0 \newline m_1 \newline m_2 \newline \vdots \newline m_{n-1} \newline m_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \newline \frac{y_2 - y_1}{\Delta_1} - \frac{y_1 - y_0} {\Delta_0} \newline \frac{y_3 - y_2}{\Delta_2} - \frac{y_2 - y_1} {\Delta_1} \newline \vdots \newline \frac{y_{n} - y_{n-1}}{\Delta_{n-1}} - \frac{y_{n-1} - y_{n-2}} {\Delta_{n-2}} \newline 0 \end{bmatrix} $$ 显然是三对角矩阵。

夹持边界

我们令 \(S'_0(x_0) = a, S'_{n-1}(n) = b\)（也就是将函数左边界和右边界的导数固定为某个值）。

从而，矩阵为： $$ \begin{bmatrix} 2\Delta x_0&\Delta x_0&0&0&\cdots &0 \newline \Delta x_0 & 2(\Delta x_0 + \Delta x_1) & \Delta x_1 & 0 & \cdots & 0 \newline 0 & \Delta x_1 & 2(\Delta x_1 + \Delta x_2) & \Delta x_2 & \cdots & 0 \newline \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \newline 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & \Delta x_{n-1} \newline 0&0&0&\cdots&\Delta x_{n-1} &-2\Delta x_{n-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} m_0 \newline m_1 \newline m_2 \newline \vdots \newline m_{n-1} \newline m_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \left(\frac{y_1 - y_0} {\Delta x_0} - a \right) \newline \frac{y_2 - y_1}{\Delta_1} - \frac{y_1 - y_0} {\Delta_0} \newline \frac{y_3 - y_2}{\Delta_2} - \frac{y_2 - y_1} {\Delta_1} \newline \vdots \newline \frac{y_{n} - y_{n-1}}{\Delta_{n-1}} - \frac{y_{n-1} - y_{n-2}} {\Delta_{n-2}} \newline 6 \left(\frac{y_n - y_{n-1}} {\Delta x_{n-1}} - b \right) \end{bmatrix} $$