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\[ \newcommand{\bx}{\boldsymbol{x}} \newcommand{\by}{\boldsymbol{y}} \newcommand{\bz}{\boldsymbol{z}} \newcommand{\bv}{\boldsymbol{v}} \newcommand{\dt}{\mathrm dt} \newcommand{\Dt}{\Delta t} \newcommand{\bxt}{\bx^t} \newcommand{\bxtt}{\bx^{t + \Dt}} \newcommand{\dbxtt}{\dot \bx^{t + \Dt}} \]

Lec 21-22: Animation

弹簧-质点系统（Mass Spring System）

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对于如上的弹簧，我们考虑二阶力（弹簧势能）和一阶力（摩擦力）：

  • 二阶力 $$ \begin{aligned} \boldsymbol f_{a \to b} &= k_s \frac{\boldsymbol {b-a}}{\lVert\boldsymbol{b-a}\rVert}(\lVert\boldsymbol{b-a}\rVert - l) =k_s \widehat{\boldsymbol {b-a}}(\lVert\boldsymbol{b-a}\rVert - l) \newline \boldsymbol f_{b \to a} &= -\boldsymbol f_{a \to b} \end{aligned} $$

  • 其中，\(l\) 是 rest length

  • 一阶力 $$ \begin{aligned} \boldsymbol f_{b} = -k_d (\widehat{\boldsymbol {b-a}} \cdot (\boldsymbol{\dot b - \dot a}) )\widehat{\boldsymbol {b-a}} \newline \boldsymbol f_{a} = -\boldsymbol f_{b}
    \end{aligned} $$

  • 括号里就是 a, b 相对速度在弹簧方向上的大小。

例子：布料

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如图，布料具有

  • （各向同性）抗剪切
  • 抗弯折
  • ……

的特性。因此，横平竖直的弹簧系统肯定是不行的。

为了抗剪切，我们加入了对角线的弹簧；为了抗弯折，我们加入了 skip connection（也就是如图长度为 2 的长弹簧）。

从而，我们得到了可以近似模拟布料的 mass spring system。

粒子系统

我们可以将一个系统近似为粒子之间的相互作用。

每个粒子的运动都由一系列物理/非物理的力所决定。

It's a popular technique in graphics and games, in the sense that it's

  • Easy to understand, implement
  • Scalable: fewer particles for speed, more for higher complexity

but it does have challenges

  • May need many particles (e.g. fluids)
  • May need acceleration structures (e.g. to find nearest particles for interactions)

Particle System Animations

For each frame in animation - [If needed] Create new particles - Calculate forces on each particle - Update each particle’s position and velocity - [If needed] Remove dead particles - Render particle

Particle System Forces

Attraction and repulsion forces - Gravity, electromagnetism, … - Springs, propulsion, … Damping forces - Friction, air drag, viscosity, … Collisions - Walls, containers, fixed objects, … - Dynamic objects, character body parts, …

例子：bird flock simulation (as ODE)

Model each bird as a particle Subject to very simple forces:

  • attraction to center of neighbors
  • repulsion from individual neighbors
  • alignment toward average trajectory of neighbors

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数值模拟——欧拉方法

欧拉方法很广，可以分为

  • 直接欧拉法（i.e. naive Euler method），\(\bxtt = \bxt + \bv(\bxt) \Dt\)

  • 中点法 $$ \begin{aligned} \newcommand{\bxmid}{\bxt + \bv(\bxt)\Dt / 2} \bx_{mid} &= \bxmid \newline \bxtt &= \bxt + \bv(\bx_{mid}) \Dt = \bxt + \bv(\bxmid) \Dt \end{aligned} $$

  • 中点法很多情况下等价于一个抛物线

  • 隐式欧拉法

通过求解方程（\(\bxtt\) 是未知数） $$ \begin{aligned} \bxtt = \bxt + \Dt ~\dbxtt = \bxt + \Dt ~\bv(\bxtt) \end{aligned} $$ 我们可以通过牛顿迭代法等方法求出 \(\bxtt\) 的值

  • 通常，隐式欧拉法比直接（显式）欧拉法更加稳定

  • Runge-Kutta Families

这是一系列高阶优化方法的集合，很适合用作非线性的情况。