Vectorization of Persistent Diagrams

Motivation

由于

计算 PD 图之间的距离（Wasserstein, Bottleneck, etc），对于 Wasserstein 需要 \(O(n^3)\)，对于 bottleneck 需要 \(O(n^{2.5}\log n)\)，因此，对于大数据而言，这种计算量是非常 computationally intractable
如果需要使用 DL 的方式进行处理，那么就最好将点云变换成向量
变换成向量之后，除了喂给深度网络以外，还可以使用求方差、求均值等等统计方法。

综上所述，vectorization 是非常 necessary。

当然，和 Wasserstein, Bottleneck 类似，向量也需要满足稳定性。

下面我们介绍几个向量化的方法。

Binning

第一个 proposed method。非常原始，也没有稳定性而言（比如数据稍微偏差一点，某一个点可能就从 bin A 变成 bin B 了）。

Persistent Landscape

第一个被证明 stable 的向量化方法。具体方法如图可知。

Persistent Images

就是将点云变成高斯，然后采样离散化（i.e. 每一个网格内，积分求出概率），从而得出一个二维网格。之后要 CNN 或者普通 NN 都可以。

Kernel Method

Recap

PD 图的 kernel method，就是 SVM 中的核方法的变体。

SVM 的传统核方法，是为了找到一个 computational tractable 的方法，使得可以将低维点非线性地映射到高维空间。

又由于 Dual SVM 的所有计算都只需要两个高维空间向量内积，而从不需要高维向量本身，因此我们可以 exploit 这一点，通过简单的内积来代替复杂的高维映射。从而，我们引入了核函数，其实也就是高维/无穷维空间的内积。

对于 persistent diagram 而言，一些情况下，与其找一个合适的 feature vector mapping，不如直接一步到位——为 PD 图构造一个合适的 Hilbert space。

构造出合适的内积（i.e. 核函数）之后，就可以直接用在各种核方法上，kernel SVM/PCA/etc。

Persistent B-spline Grids

就是下面这样，可以看一下：

B-spline 相比 persistent image 而言，直观上的好处就是：persistent image 是通过采样得到的，实际上的有用信息并不多，就是看着好看；而 persistent B-spline 的控制点是实打实的富含有用信息。

持续景观 (Persistent Images)

研究动机

假设我们希望研究某个分布的拓扑性质，那就要在分布上采点。因此，通过大数定律，我们可以用平均值、方差等来估计分布的性质。为了求出 PD 图的平均值、方差，我们就需要引入持续景观。

对于 barcode 的每一条，我们都构造以下的简单函数：

Note

可以将 barcode 视作一个分段函数，其中不为 0 的部分恒为 1。然后，我们用其自身和自身卷积，再乘以一个常数（用于将中心高度变成 \(\frac {d - b} 2\)）即可。

如上图：\(\lambda_1\) 就是蓝线，\(\lambda_2\) 就是深红线，\(\lambda_3\) 就是浅红线

然后，我们可以 generalize 上面的函数：

更多构造

可以直接从 PD 图上构造。也很直观。

Mean and Variance

Info

如上图，我们可以很容易地定义出两函数之间的 p-度量和无穷度量

既然定义了度量，我们就可以定义均值（使用 Frechet Mean）：

frechet mean 的持续景观，等价于持续景观的 mean

当然，这里有一个问题：对于 PD 图，Frechet Mean 的解是不唯一的。不过，我们可以证明，这几个函数的简单平均值，恰好是某一个 Frechet Mean。因此，我们就取简单平均值作为 Frechet Mean 了。

如左上图：某个 PD 图是红色点，另一个 PD 图是绿色点。

如果求两者的 frechet mean，那么黑色点的 PD 图和紫色点的 PD 图都是解。但是两个解的持续景观是一样的。

而这两个 frechet mean 解的持续景观，恰好就是红绿两 PD 图（右上和左下）的持续景观的 mean（右下）。

Statistical Guarantees

如上图：从 Frechet Mean 为 \(\bar\lambda\) 的概率分布中采样，可以保证大数定律和中心极限定律。

从而就说明：如果从这个概率测度中采样，并且然后估计平均、方差，只要样本数足够多，就可以无限接近真实值。也就是说，我们可以在持续景观上使用统计方法。

Question

不过，“采样”具体是什么严格数学定义，我还不知道。

Stability

Example: Torus

为什么可以求平均？

首先，我们在某个曲面上采样。采样带有噪声。

然后，我们将点云通过持续同调的方法生成 PD 图，然后再生成持续景观。由 stability 可知：曲面上采样的小噪声，变成了持续景观之后，还是小噪声。

通过 statistical guarantee 可知：持续景观的一个分布，其平均值和方差可以通过求简单平均的方法估计出来。如果这个分布的噪声不大的话，那么就可以很快地收敛。

因此，某一个曲面对应的持续景观，可以由多次采样求平均的方法估计出来，而且收敛速度是有概率上的保证的。

如上：一个圆环的持续景观，可以由多次采样求平均的方法得到。

Example: Torus VS Sphere

如图，通过 \(H_1\) 的 PD 图，就可以将 torus 和 sphere 分开。

持续图像

首先，我们需要在 PD 上生成一个标量场 \(\rho_B(\mathrm z): \mathbb R^2 \to \mathbb R\)，也就是 persistent surface：

其中：

\(\phi_u(\mathrm z)\)：就是一个 kernel 函数，定义在 \(\mathrm u\) 处。我们这里取的是高斯核函数。
\(f(\mathrm u)\)：也很好理解。因为不同点处的核函数，其中心高度必须有差别——生存实践越长的点，其中心应该越高。因此，\(f(\mathrm u)\) 就是定义了点 \(\mathrm u\) 的高斯函数的中心处高度。

\(f(\mathrm u)\)