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\[ \newcommand{K}[1]{K^{(#1)}} \]

Persistent Homology

Filtration

Filtration 就是一个

  • 单纯复形的递增序列 \(K^{(n)}\): \(K^{(0)} \subset K^{(1)} \subset K^{(2)} \subset \cdots\)
  • 并且每两个相邻复形之间只相差一个单形

Filter 就是一个 filtration 的差序列： $$ \text{Filter of }K := \set{\sigma_0, \sigma_1, \cdots} = \set{\K{1} - \K{0}, \K{2} - \K{1}, \cdots} $$ 我们用 \(C_k^{(n)}, \partial_k^{(n)}, Z_k^{(n)}, B_k^{(n)}, H_k^{(n)}\) 来表示第 \(n\)​ 项链复形的各项属性

Example

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如上图，

  • 标减号的，代表至少有一个拓扑特征在这一步中消失
    • 以 14 为例：这一步中，
      • 增加了 suw 这一个 2-复形特征，
      • 减少了 su, uw, ws 这三个 1-复形特征，以及 s, u, w 这三个 0-复形特征
      • 不过，由于 uw, s, u, w 之前已经被减少了，因此实际上只减少了 su, ws
  • 标加好的，代表没有任何拓扑特征消失，只有拓扑特征的增加
    • 以 17 为例：这一步中，
      • 增加了 stw 这一个 2-复形特征，
      • 减少了 st, tw, ws 这三个 1-复形特征，以及 s, t, w 这三个 0-复形特征
      • 不过，由于 st, tw, ws, s, t, w 之前已经被减少了，因此实际什么也没有减少

How to Construct a Complex With \(\varepsilon\)?

对于点云而言，可以使用：

  • Čech 复形：最小包围球
  • VR 复形：最远点对
  • Alpha 复形：最小包围球 ∩ 相邻胞腔
  • 另外，如果点云数量过于巨大，则可以使用 vineyard 复形来计算

How to Construct a Filtration With a certain Complex?

一般构造

Lower-Star 构造

Lower-Star 构造不需要每一个单形都对应一个值，只需要顶点对应即可。

image-20240412043359020

我们这里只在顶点（i.e. 0-单形）上定义了函数，令 \(St~u\) 为所有顶点集中包含 u 的单形（也就是 u 的所有邻接单形）。同时定义 $$ St_u = \set{\sigma \in St~u | x \in \sigma \implies f(x) \leq f(u)} $$ 如上图，我们将每一个顶点放在坐标系中，对于每一个单形，其所在的 \(St~u\) 就是其顶点集中函数值最大的顶点的 (\(St\)\)​。

我们不妨定义 \(K_i := \bigcup_{i=1}St_{u_i}\)，其中 \(u_i\) 是函数值第 \(i\)​ 小的顶点。

那么，就有： $$ \emptyset \subset K_1 \subset K_2 \subset \cdots \subset K_{n} = K $$ 虽然 \(K_i, K_{i+1}\) 之间并不一定相差正好一个单纯复形，但是也算是一种包含关系。

实际计算的时候，我们把 \(f\) 延拓到复形上即可。 $$ g(\sigma) = \max_{v \in \sigma} f(v) $$

同调元的继承

诱导映射

如果存在单纯映射 \(f: K \to L\)（单纯映射就是 k-单形只会映射到 k-单形的映射），我们就可以诱导出任意 \(p\) 阶同调群之间的同态： $$ \begin{aligned} f_\ast: H_p(K) &\to H_p(L) \newline

\end{aligned} $$

  • 基本原理：因为所有的 \(K_p \to L_p\) 的映射都可以被自然地导出

嵌入映射

对于一个 filtration，若 \(n < m\)，则 \(K^{(n)} \subset K^{(m)}\)，从而有一个自然的嵌入映射：\(i^{n, m}: K^{(n)} \to K^{(m)}\)

从而就有 \(i_\ast^{n,m}:H_\ast(K^{(n)}) \to H_\ast(K^{(m)})\)

生成元的持续

图例：

  • 第 \(j\) 个椭圆处的红色的部分是 \(H_p^{i-1,j} := \frac{Z_p^{(i-1)}}{Z_p^{(i-1)} \cap B_p^{(j)}}\)​
    • 直观上就是：第 \(i-1\) 个闭链中，不是第 \(j\) 个边界的集合
    • 因此，如果 \(\gamma\) 被映射到了 \(H_p^{i-1,j}\) 里，就代表它和之前的 \(H_p^{(i-1)}\) 里的元素合并了，i.e. 与更老的同调元合并
      • 当然，也可以是和零元合并，i.e. 映射成零元，相当于 \(\gamma\) 本身就是第 \(j\) 个边界

直观理解：

  • 同调群就是闭链除以边界的一个商群

生成元计数

定义：

  1. \(\mu^{i,j}_p\) 为所有在 i 时刻出生，在 j 时刻消亡的线性无关同调生成元数目
  2. \(\beta^{i,j}_p\) 为 i 时刻到 j 时刻都存在的线性无关同调生成元的数目。

从而，我们可以得到 \(\beta\) 和 \(\mu\) 的关系：

\[ \begin{aligned} \mu_p^{i,j} &= \text{在 i 时刻存在，在 j 时刻消失} - \text{在 (i-1) 时刻存在，在 j 时刻消失} \newline &= (\text{i 存在，j-1 存在} - \text{i 存在，j 存在}) - (\text{i-1 存在，j-1 存在} - \text{i-1 存在，j 存在}) \newline &= (\beta^{i,j-1}_p - \beta^{i,j}_p) - (\beta^{i-1,j-1}_p - \beta^{i-1,j}_p) \end{aligned} \]

持续同调基本定理：

\[ \beta_p^{k,l} = \sum_{i \leq k} \sum_{j \geq l} \mu_p^{i,j} \]

可视化

如图，每一个点都对应着一个 \(\mu_p^{i,j}\)。向左上的阴影区域都对应着 \(\beta_p^{i,j}\)。

持续等价定理

定理： 如果

  1. 下面的每一个 square 都是交换图
  2. 所有 \(U_i\), \(V_i\) 之间的映射都是同构

那么，\(U_i\) 和 \(V_i\) 的 persistent diagram (持续图) 就是相同的。

  • 具体来说：我们可以认为，\(V_i\) 和 \(U_i\) 就是一组 filtration（之间由嵌入映射连接）。如果两者之间存在同构，那么在 PD 图层面就是等价的。

Yet Another "Persistence": Level Set (水平集)

对于一个标量场，我们就不能简单使用复形了，而是要使用上下水平集。

image-20240414181837611 $$ f(x)=1+0.0416667x-1.3125 x^{2}-0.0416667 x^{3}+0.3125 x^{4} $$ 如图，直观上看，从下往上，

  • 首先，右边出现了一个线条
  • 然后，左边出现了一个线条（目前有两条）
  • 后来，两条线条合并，变成了一条线条。
    • 根据 FILO 原则：我们认为左边的线条在此处消亡。

如果用数学的语言描述：

  • 遇到（右边的）极小值点：出现一个拓扑特征
  • 遇到（左边的）极小值点：出现一个拓扑特征
  • 遇到极大值点：该极大值点两侧的两个拓扑特征，根据 FILO 原则合并