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\[ \newcommand{\innerprod}[2]{\langle #1, #2 \rangle} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \]

Outline

  1. Relaxation and Approximation
    1. Concepts
    2. 1-st order
    3. 2-nd order
  2. Classes of differentiable functions
    1. Class \(C^{k,p}_L(\mathbb R^n)\)%% %%
    2. Class \(C^{1,1}_L(\mathbb R^n)\)
    3. Class \(C^{2,2}_M(\mathbb R^n)\)

Relaxation and Approximation

Concepts

Definition

Definition (relaxation sequence): \(\forall k > 0: a_{k+1} \leq a_k\)，则称 \(\{a_k\}^{k=0}_\infty\) 为 relaxation sequence.

对于一个光滑多元函数 \(f\)，如果要（无约束）最小化，一种途径就是制造一个松弛序列：

\[ \{f(x_k)\}_{k=0}^\infty, \quad f(x_{k+1}) \leq f(x_k), k = 0, 1, \dots \]

而我们的目标，就是 replace an initial complex object (i.e. \(f\)) by a simplified one, which is close by is properties to the original.

一阶优化

梯度下降的局部最优性

一阶优化，就是喜闻乐见的梯度下降。但是我们还是进行一番推导：

Claim

Claim: 沿着梯度方向移动是“好”的

Proof: 令 \(f(x)\) be differentiable at \(\bar x\)。那么：

\[ f(y) = f(\bar x) + \innerprod{\nabla f(\bar x)}{ y - x} + o(\norm{y-\bar x}) \]

为了尽量准确，我们希望 \(y-\bar x\) 能够限定在某一个值之内，即：

\[ f(y) \approx f(\bar x) + \innerprod{\nabla f(\bar x)}{ y - x}, \quad \norm{y-\bar x} \leq \epsilon \]

因此，我们的目标就是：

\[ \min_{y, s.t. \norm{y-\bar x} \leq \epsilon} f(\bar x) + \innerprod{\nabla f(\bar x)}{y - x} \]

显然，令 \(y-x = \frac {\epsilon} {\norm{\nabla f(\bar x)}}\nabla f(\bar x)\)，就是最好的选择。\(\blacksquare\)

梯度的正交空间

Definition

定义（水平集）：\(\mathcal L_f(\alpha) = \{x \in \mathbb R^n | f(x) \leq \alpha \}\)

Definition

定义：\(S_f(\bar x) = \{s \in \mathbb R^n | s = \lim_{y_k \to \bar x, f(y_k) = f(\bar x)} \frac {y_k - \bar x} {\norm{y_k - \bar x}}\}\)

  • 直观来说，就是任照一个以 \(\bar x\) 为极限、函数值等于 \(f(\bar x)\) 的序列 \(\{y_k\}\)
  • 若这个序列存在右侧的极限，那么该极限就属于这个集合

Lemma

Lemma 1: \(s \in S_f(\bar x) \implies \innerprod{\nabla f(\bar x)} {s} = 0\)

Proof:

最小值和梯度

如果函数 \(f\) 在极小值点 \(x^\ast\) 附近一阶光滑，那么显然 \(\nabla f(x^\ast) = 0\)。

  • 当然，反之不对，因为存在鞍部

线性约束下的梯度下降

Colloary

如果使用 Lagrange multiplier:

\[ L(x, \lambda) = f(x) - \lambda^T (Ax - b) \]

因此：

\[ \nabla_x L = \nabla f(x) - A^T \lambda = 0 \iff \nabla f(x) = A^T \lambda \]

又：

\[ \nabla_\lambda L = Ax - b = 0 \]

因此，我们就是要找出这样的 \(\lambda^\ast\)，使得 \(\nabla f(x^\ast) = A^T \lambda^\ast\) 的同时，也有 \(Ax^\ast = b\)。

二阶优化

极小值和 \(\nabla^2 f(x)\)

Notation
  • 正定（i.e. \(\forall x \neq 0: x^T \nabla^2 f(x) x 0\)）：\(H \succ 0\)
  • 半正定（i.e. \(\forall x \neq 0: x^T \nabla^2 f(x) x \geq 0\)）：\(H \succeq 0\)

如果函数 \(f\) 在极小值点 \(x^\ast\) 附近光滑，那么显然 \(\nabla f(x^\ast) = 0\)。同时，\(\nabla^2 f(x) \succeq 0\)。

  • 注意，一阶、二阶导数的关系，只是极小值点的必要条件。

严格极小值和 \(\nabla^2 f(x)\)

Definition

定义（严格极小值）：一个 \(x^\ast\) 是严格极小值点，当且仅当存在一个邻域，任意点 \(x\)（除了 \(x^\ast\) 以外）的函数值，都比 \(f(x^\ast)\) 更大。

Theorem

定理：如果 \(f(x)\) 二阶光滑，而且 \(\nabla f(x^\ast) = 0\)。同时，\(\nabla^2 f(x) \succ 0\)（注意是严格正定，而不是半正定）。那么，\(x^\ast\) 必然是极小值点。

  • 也就是说，一阶、二阶导数的关系，是极小值点的充分条件。

证明：易证。

可微函数

Class \(C_L^{k,p} (\mathbb R^n)\)

Let \(Q\) be a subset of \(\mathbb R^n\)。A function \(f \in C_L^{k,p} (\mathbb R^n)\) should have the following properties:

  1. \(f\) is k times continuously differentiable on \(Q\)

  2. It's p-th derivative is Lipschitz continuous on Q with constant \(L\):

    \[ \norm{f^{(p)}(x) - f^{(p)}(y)} \leq L \norm{x-y} \]

    for all \(x, y \in Q\).

注意：上面的 \(f^{(p)}(x)\)，\(p=1\) 时，是向量；\(p=2\) 时，是矩阵；\(p \geq 3\) 时，是高阶张量。我们显然需要用到（通过向量范数诱导出的）矩阵乃至张量的范数

此外，我们不难得出下面三个结论：

  1. \(p \leq k\)，显然
  2. 若 \(q > k\)，那么 \(C_L^{q,p} (\mathbb R^n) \supseteq C_L^{k,p} (\mathbb R^n)\)
  3. 若 \(f_1 \in C_{L_1}^{k,p} (\mathbb R^n), f_2 \in C_{L_2}^{k,p} (\mathbb R^n)\)，且给定任意 \(\alpha, \beta \in \mathbb R^1\)，那么，\(\alpha f_1 + \beta f_2 \in C_{L_3}^{k,p} (\mathbb R^n), \text{ where } L_3 = |\alpha| L_1 + |\beta| L_2\)

Class \(C_L^{1,1}(\mathbb R^n)\)

相比 \(C_L^{1,1}(\mathbb R^n)\)，\(C_L^{2,1}(\mathbb R^n)\) 具有更加良好的性质。因此我们经常用后者的充要条件，当做前者的充分条件。

Lemma

Lemma 7: \(f \in C_L^{2,1}(\mathbb R^n) \in C_L^{1,1}(\mathbb R^n)\), if and only if

\[ \forall x \in \mathbb R^n: \norm{\nabla^2 f(x)} \leq L \]

Proof:

Example

对于线性 or 仿射函数，它们都是 \(L = 0\)；对于二次型，它们都是 \(L = \norm{A}, \text{ where } f(x) = \alpha + \innerprod{a}{x} + \frac 1 2 \innerprod{Ax} {x}\)

对于非上述函数，我们也举一例：

\[ f(x) = \sqrt{1 + x^2}, x \in \mathbb R^1 \]

那么，\(\nabla f(x) = \frac {x} {\sqrt {1 + x^2}}\)，且 \(\nabla^2 f(x) = \frac {1} {(1 + x^2)^{3/2}} \leq 1\)。

因此：\(f(x) \in C_1^{1,1}(\mathbb R^1)\)

Geometric Interpretation of Class \(C_L^{1,1}(\mathbb R^n)\)

Lemma

Lemma 9: if \(f \in C_L^{1,1}(\mathbb R^n)\), then

\[ |f(y) - f(x) - \innerprod{\nabla f(x)}{y-x} | \leq \frac L 2 \norm{y-x}^2 \]

注意：令 \(g(y) = f(x) - \innerprod{\nabla f(x)}{y-x}\)，则 \(g(x) = f(x), \nabla g(x) = \nabla f(x)\)，也就是说：\(g(y)\) 是 \(f(y)\) 的一阶逼近。

Proof:

一个直接推论就是：如果我们构造两个函数

\[ \begin{aligned} \phi_1(x) = f(x_0) + \innerprod{\nabla f(x_0)}{x - x_0} + \frac L 2 \norm{x - x_0}^2 \newline \phi_2(x) = f(x_0) + \innerprod{\nabla f(x_0)}{x - x_0} - \frac L 2 \norm{x - x_0}^2 \end{aligned} \]

那么，显然有：\(\phi_1(x) \geq f(x) \geq \phi_2(x), \forall x \in \mathbb R^n\)。

两面包夹之势

如图：\(g = \phi_1, h = \phi_2\)

Class \(C_M^{2,2}(\mathbb R^n)\)

  • Lemma 10 的证明方法和 lemma 9 的完全一样

Lemma

Lemma 11: if \(f \in C_M^{2,2}(\mathbb R^n)\)，那么 \(\nabla^2 f(x) - Mr I_n \preceq \nabla^2 f(y) \preceq \nabla^2 f(x) + Mr I_n\)

  • 其中，\(r = \norm{y-x}, I_n\) 就是 \(n\) 阶单位矩阵
  • 另外，\(A \preceq B\) 就是 \(A - B \preceq 0\) 的等价记号

Proof: